Баєсівська теорія рішень

Ідея: Один прогноз, протилежні угоди

Обидва столи бачать шанс зростання $40\%$. Стіл A заробляє $30$ або втрачає $10$; стіл B заробляє $10$ або втрачає $30$.

• Те саме переконання, протилежні дії
• Теорія рішень пов’язує переконання з дією

Формула: Правило

$\rho (a)=E[L(a,\theta )\mid D],\text{choose}\mathrm{argmin}\rho (a)$

Усередніть втрату кожної дії за апостеріорним розподілом і візьміть дію з найменшим значенням.

Приклад: Хеджувати чи ні

Спокій $\frac{1}{2}$, турбулентність $\frac{3}{8}$, обвал $\frac{1}{8}$. Без хеджу втрати $0$, $6$, $20$; хедж завжди коштує $4$. Очікувана втрата без хеджу?

1. Хедж коштує $4$ у кожному стані
2. Без хеджу: $\frac{3}{8}\times 6+\frac{1}{8}\times 20=4,75$, тож хеджуйте

Формула: Беззбиткова ймовірність

$\text{trade}\text{when}p>\frac{l}{w+l}$

Угода виграє w з імовірністю p, інакше втрачає l. Столу A треба 1/4, столу B треба 3/4.

Швидка перевірка: Поріг столу A

Угода дає $30$ з імовірністю $p$, інакше втрачає $10$. Вище якого $p$ її варто брати?

Ідея: Втрата обирає оцінку

Назвати одне число теж рішення.

• Квадратична втрата $(a-\theta {)}^2$: апостеріорне середнє
• Абсолютна втрата $|a-\theta |$: медіана
• Ціна $s$ за нестачу й $o$ за надлишок: квантиль $\frac{s}{s+o}$

Приклад: Скільки лотів тримати

Клієнт хоче $5$, $10$ або $15$ лотів з імовірностями $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$. Брак лота коштує $4$, зайвий лот $1$. Скільки тримати?

1. Ціль $\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$
2. Накопичено: $\frac{1}{4}$, потім $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$, потім $1$
3. Перший рівень, що досягає $\frac{4}{5}$: $15$

Ідея: Скільки варта інформація

Досконале знання обмежує цінність будь-якого сигналу.

• Наосліп: $\frac{2}{5}\times 30-\frac{3}{5}\times 10=6$
• Знаючи результат: $\frac{2}{5}\times 30=12$
• Стеля: $12-6=6$; шумні сигнали варті менше

Типова помилка: Точковий прогноз у втраті

Опціон платить $\max (\theta -10,0)$, а $\theta$ дорівнює $8$ або $14$. Середнє $11$ підказує цінність $1$.

Натомість Натомість усередніть виплату: $\frac{1}{2}\times 4=2$. Вони збігаються лише для лінійної за $\theta$ втрати.