Апостеріорний прогноз

Ідея: Прогнозуйте нові дані, а не θ

Майбутнє має $2$ шари сумніву: $\theta$ невідомий, і навіть за відомого $\theta$ результат випадковий.

• Апостеріорний прогнозний розподіл несе обидва
• Візьміть $\theta$ з апостеріорного, потім нові дані з моделі

Формула: Апостеріорний прогнозний розподіл

$p(y\mid D)=\int p(y\mid \theta )p(\theta \mid D)d\theta$

Зважте кожне можливе θ його апостеріорною ймовірністю й усередніть його прогноз.

Приклад: Обидві заявки виконано

Частка виконань має апостеріорний $\mathrm{Beta}(6,4)$. Яка ймовірність, що наступні $2$ заявки обидві виконаються?

1. Перша з імовірністю $\frac{6}{10}$, оновлення до $\mathrm{Beta}(7,4)$
2. Друга з імовірністю $\frac{7}{11}$
3. Обидві: $\frac{6}{10}\times \frac{7}{11}=\frac{21}{55}$

Типова помилка: Підставити оцінку

Підстановка дає $\frac{3}{5}\times \frac{3}{5}=\frac{9}{25}$ для $2$ виконань: шум лишається, сумнів зникає.

Натомість Усереднюйте за апостеріорним. Виконання гуртуються, а діапазони підстановки завузькі, найгірше за малого $n$.

Швидка перевірка: Рівно 1 виконання

Той самий апостеріорний $\mathrm{Beta}(6,4)$. Яка ймовірність рівно $1$ виконання в наступних $2$ заявках?

Формула: Нормальний: шум плюс сумнів

$y\sim N(m,{\sigma }^2+V)$

Дисперсії додаються. Із даними V падає до нуля, а σ² лишається.

Ідея: Розрив росте з горизонтом

За $h$ днів шум незалежний, а похибка середнього спільна: дисперсія $h{\sigma }^2+h^{2}V$.

• $V=2$, ${\sigma }^2=12$: один день має $12+2=14$
• Тиждень із $5$ днів: $5\times 12+25\times 2=110$
• Підстановка каже $5\times 12=60$

Швидка перевірка: Жодної події

Частота подій має апостеріорний $\mathrm{Gamma}(2,3)$. Яка ймовірність, що за наступний період подій не буде?

Ідея: Перевірка моделі

Згенеруйте нові набори даних із прогнозного розподілу й порівняйте важливу ознаку, наприклад найгірший день.

• Реальне значення далеко поза змодельованим діапазоном: модель щось пропускає