Сумісний, маргінальний і умовний розподіли

Ідея: Спільна таблиця

Спільний розподіл дає ймовірність кожній парі наслідків одразу.

• Сигнал купівлі $X$ і зростання на закритті $Y$, кожен $0$ або $1$
• Клітинки: $0,30$, $0,10$, $0,20$, $0,40$
• Перша перевірка: $0,30+0,10+0,20+0,40=1$

Формула: Маргінальний розподіл

$P(X=x)=\sum _{y}P(X=x,Y=y)$

Приберіть змінну: підсумуйте спільний розподіл за всіма значеннями іншої.

Формула: Умовний розподіл

$P(Y=y\mid X=x)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(X=x)}$

Залиште один зріз таблиці й перемасштабуйте його на його суму: спільне поділити на маргінальне.

Приклад: Зростання після сигналу купівлі

$P(X=1,Y=1)=0,30$ і $P(X=1,Y=0)=0,10$. Чому дорівнює $P(Y=1\mid X=1)$?

1. Зріз $X=1$: $0,30+0,10=0,40$
2. Перемасштабуйте: $\frac{0,30}{0,40}=\frac{3}{4}$

Типова помилка: Читати спільну клітинку як умовну

Вважати $0,30$ шансом зростання після сигналу купівлі. Ця клітинка виміряна по всіх ранках.

Натомість Обумовте: поділіть на $P(X=1)=0,40$ і отримайте $\frac{3}{4}$.

Ідея: Чи несе сигнал інформацію?

Незалежність означає, що кожен умовний розподіл дорівнює маргінальному.

• $P(Y=1\mid X=1)=\frac{3}{4}$ проти $P(Y=1)=\frac{1}{2}$
• Умовні усереднюються назад: $0,40\times \frac{3}{4}+0,60\times \frac{1}{3}=\frac{1}{2}$
• Маргінальні розподіли ніколи не відновлюють спільний

Швидка перевірка: Коваріація пари

$P(X=1,Y=1)=0,30$, $P(X=1)=0,40$, $P(Y=1)=0,50$. Чому дорівнює $\mathrm{Cov}(X,Y)$?

Ідея: Із густинами так само

Для неперервних змінних суми стають інтегралами, а ймовірність є об’ємом.

• $f(x,y)=x+y$ на одиничному квадраті
• Маргінальна: $f_X(x)=x+\frac{1}{2}$
• Не незалежні: у куті добуток дорівнює $\frac{1}{4}$, а густина $0$

Ідея: Проговорюйте вголос

Назвіть, що рахуєте, перш ніж торкатися чисел.

• Спільна: по всіх випадках
• Маргінальна: приберіть змінну додаванням
• Умовна: звузьте до одного зрізу й перемасштабуйте