Коваріаційні матриці й портфелі

Ідея: Волатильності не додаються

Фонд тримає $60\%$ в індексі з волатильністю $30\%$ і $40\%$ у нафті з $40\%$, кореляція $0,5$.

• Наївна сума: $0,6\times 0,30+0,4\times 0,40=0,34$
• Справжній ризик нижчий: усе вирішує перехресний член

Формула: Дисперсія портфеля

$\mathrm{Var}(w^{T}R)=w^T\Sigma w$

Сума по всіх парах активів: вага на вагу на їхню коваріацію.

Формула: Пара активів

${\sigma }^2=w_1^2{\sigma }_1^2+w_2^2{\sigma }_2^2+2w_1{w}_{2}c$

Перехресний член несе коваріацію c і зникає за нульової кореляції.

Приклад: Індекс і нафта

Ваги $0,6$ і $0,4$, дисперсії $0,09$ і $0,16$, коваріація $0,06$. Яка дисперсія портфеля?

1. Квадрати: $0,36\times 0,09=0,0324$ і $0,16\times 0,16=0,0256$
2. Перехресний: $2\times 0,6\times 0,4\times 0,06=0,0288$
3. Разом: $0,0324+0,0256+0,0288=0,0868$

Типова помилка: Додавати волатильності

Волатильності додаються лише за кореляції $1$. Дисперсії додаються лише за $0$.

Натомість Решта випадків потребує перехресного члена, а коротка позиція змінює його знак.

Ідея: Не кожна таблиця є коваріацією

Коваріаційна матриця симетрична й дає $w^T\Sigma w\ge 0$ для кожного $w$.

• Кореляції $0,9$, $0,9$, $0$, одиничні дисперсії, $w=(-2,1,1)$
• Дисперсія: $6-7,2=-1,2$, тож таких активів не буває

Формула: Суміш із найменшим ризиком

$w=\frac{{\sigma }_2^2-c}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2-2c}$

Вага першого активу з найменшою дисперсією. Той самий нахил задає хедж.

Швидка перевірка: Вага індексу

Дисперсія індексу $0,09$, нафти $0,16$, коваріація $0,06$. Яка вага індексу дає найменшу дисперсію?

Ідея: Багато активів

Рівні ваги на $n$ назв із дисперсією ${\sigma }^2$ і кореляцією $\rho$: $\frac{{\sigma }^2}{n}+\left(\frac{n-1}{n}\right)\times \rho {\sigma }^2$.

• $\frac{0,09}{10}+\frac{9}{10}\times 0,018=0,0252$
• Межа, коли $n$ росте: $0,2\times 0,09=0,018$
• Власний ризик диверсифікується, спільний лишається