Багатовимірний нормальний розподіл

Ідея: Одна нога вже надрукувалась

Якщо рух індексу $X$ і рух сектора $Y$ спільно нормальні, кілька чисел відповідають на все.

• $E[X]=2$, $\mathrm{Var}(X)=25$
• $E[Y]=1$, $\mathrm{Var}(Y)=36$
• $\mathrm{Cov}(X,Y)=18$, тож $\rho =\frac{18}{5\times 6}=\frac{3}{5}$

Формула: Будь-яка суміш лишається нормальною

$a^{T}R\sim N(a^T\mu ,a^T\Sigma a)$

Кожна фіксована комбінація спільно нормальних змінних нормальна, а її середнє й дисперсія беруться з μ і Σ.

Формула: Умовне середнє

$E[Y\mid x]={\mu }_Y+\left(\frac{\mathrm{Cov}}{\mathrm{Var}(X)}\right)\times (x-{\mu }_X)$

Прогноз є прямою від x, і її нахил дорівнює нахилу регресії.

Формула: Умовна дисперсія

$\mathrm{Var}(Y\mid x)=\mathrm{Var}(Y)-\frac{{\mathrm{Cov}}^2}{\mathrm{Var}(X)}$

Вона не залежить від x: несподіванка зсуває прогноз, але не невизначеність.

Приклад: Прогноз для сектора

$E[X]=2$, $E[Y]=1$, $\mathrm{Var}(X)=25$, $\mathrm{Cov}(X,Y)=18$. Індекс надрукував $12$. Який прогноз для сектора?

1. Несподіванка: $12-2=10$
2. Нахил: $\frac{18}{25}=0,72$
3. Прогноз: $1+0,72\times 10=8,2$

Швидка перевірка: Залишкова невизначеність

$\mathrm{Var}(Y)=36$, $\mathrm{Var}(X)=25$, $\mathrm{Cov}(X,Y)=18$. Чому дорівнює $\mathrm{Var}(Y\mid X)$?

Ідея: У стандартних одиницях

Прогноз зсувається на $\rho$ від побаченого руху, якщо міряти в стандартних відхиленнях.

• Індекс: $\frac{10}{5}=2$ стандартних відхилення вгору
• Прогноз сектора: $0,6\times 2=1,2$ вгору
• Діапазон: від $8,2-2\times 4,8=-1,4$ до $8,2+2\times 4,8=17,8$

Типова помилка: Нормальні стовпці, а не нормальна пара

З випадковим знаком $S$ змінна $Y=S\times X$ нормальна й некорельована з $X$, проте $Y^2=X^2$.

Натомість Спитайте, чи пара спільно нормальна, перш ніж застосовувати ці правила.

Ідея: Де модель закінчується

Реальні дохідності мають важчі хвости й падають разом у кризу частіше, ніж дозволяє модель.

• Некорельовані означає незалежні лише для спільно нормальної пари
• Вважайте формули першою відповіддю й кажіть про це