AR, MA та інтегровані моделі

Ідея: Розрив, що закривається

$2$ класи акцій торгуються з розривом $14$ базисних пунктів. Широкий розрив звужується днями, а не одразу.

• Завтра: стала, плюс частка сьогодні, плюс новини
• Це авторегресія з $1$ лагом, $\mathrm{AR}(1)$

Формула: Модель $\mathrm{AR}(1)$

$X_t=c+\varphi X_{t-1}+{ϵ}_t$

Шок має середнє 0 і не залежить від минулого. Стаціонарна лише за |φ| < 1.

Формула: Прогноз повернення до середнього

$E[X_{t+h}\mid X_t]=\mu +{\varphi }^h(X_t-\mu )$

Середнє μ = c/(1 − φ). Виміряйте сьогоднішню відстань від нього й множте її на φ щокроку.

Приклад: Розрив за 2 дні

Підгонка дає $c=3$ і $\varphi =0,7$; сьогодні розрив $14$. Спрогнозуйте розрив на післязавтра.

1. Середнє $\frac{3}{1-0,7}=10$, відстань $14-10=4$
2. Завтра: $10+0,7\times 4=12,8$
3. Післязавтра: $10+0,49\times 4=11,96$

Формула: $\mathrm{MA}(1)$: пам’ять у шоках

$X_t=\mu +{ϵ}_t+\theta {ϵ}_{t-1}$

Шок частково відкочується на наступному принті, потім зникає. Це не ковзне середнє з графіка.

Швидка перевірка: Прогноз $\mathrm{MA}(1)$

Модель $\mathrm{MA}(1)$ має $\mu =0$ і $\theta =-0,4$. Сьогоднішня похибка прогнозу ${ϵ}_t=5$. Який прогноз на наступний крок?

Ідея: $\mathrm{AR}$ згасає, $\mathrm{MA}$ обривається

Прогноз $\mathrm{AR}$ трохи згасає на кожному кроці. Прогноз $\mathrm{MA}(q)$ обривається після $q$ кроків.

• $\mathrm{ARMA}(p,q)$ додає $p$ лагових значень і $q$ лагових шоків

Ідея: Ряд без домівки

Наростаючий підсумок не має рівня, до якого повертатися: візьміть різниці, потім $\mathrm{ARIMA}(p,d,q)$.

• Спершу вирішіть, чи є рівень: це задає $d$
• Зміни згасають до $\frac{0,5}{1-0,6}=1,25$
• Прогноз рівня росте на $1,25$ за крок і не вирівнюється

Приклад: Крок $\mathrm{ARIMA}(1,1,0)$

$\Delta X_t=0,5+0,6\Delta X_{t-1}+{ϵ}_t$, а останні рівні $200$ і $204$. Спрогнозуйте наступний рівень.

1. Остання зміна $204-200=4$
2. Наступна зміна $0,5+0,6\times 4=2,9$
3. Рівень $204+2,9=206,9$

Типова помилка: Зміну названо рівнем

Назвати прогноз зміни $2,9$ місцем, де опиниться ряд.

Натомість Почніть з останнього рівня й додайте кожну прогнозну зміну до горизонту: $206,9+2,24=209,14$.