Фільтри Калмана

Ідея: Число, якого ніхто не бачить

Затримка дрейфує протягом дня, а ви бачите лише пінги: істину плюс тремтіння.

• Один пінг надто шумний
• Довге середнє відстає від кожного зсуву
• Фільтр Калмана дає найкращу оцінку зараз

Формула: Стан і вимір

$x_t=F{x}_{t-1}+w_t,y_t=H{x}_t+v_t$

Шум процесу Q каже, як швидко рухається стан; шум виміру R каже, наскільки поганий вимір.

Формула: Прогноз

${\hat{x}}^{-}=F\hat{x},P^{-}=F^{2}P+Q$

Перенесіть оцінку вперед; її невизначеність зростає на Q.

Формула: Корекція

$K=\frac{P^{-}}{P^{-}+R},\hat{x}={\hat{x}}^{-}+K(y-{\hat{x}}^{-})$

Повірте в частку K несподіванки y − x̂⁻, потім P = (1 − K) P⁻.

Приклад: Перший пінг

Почніть із $\hat{x}=40$ і $P=3$, нехай $Q=1$, $R=12$. Пінг показує $52$. Яка нова оцінка?

1. Прогноз: $P^{-}=3+1=4$
2. Коефіцієнт $\frac{4}{4+12}=\frac{1}{4}$
3. $P$ повертається до $3$; оцінка $40+\frac{1}{4}\times 12=43$

Швидка перевірка: Другий пінг

Продовжте від тієї оцінки. Наступний пінг показує $38$. Яка тепер оцінка?

Ідея: Коефіцієнт це частка точності

Корекція це правило Байєса: точності додаються, $\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=\frac{1}{3}$, тож $P=3$.

• Середнє: $\frac{3\times 40+1\times 52}{4}=43$
• Точно для лінійних моделей із гауссовим шумом
• Інакше все одно найкраща лінійна оцінка

Типова помилка: Сплутати шуми

Більше $R$ означає погані виміри, тож коефіцієнт падає. Більше $Q$ означає швидкий стан, тож він росте.

Натомість І беріть $P^{-}$, а не $P$: без прогнозу виходить $\frac{3}{3+12}=\frac{1}{5}$, а не $\frac{1}{4}$.

Ідея: Сталий режим

Дисперсії не залежать від вимірів і усталюються: $\frac{R}{Q}=\frac{1-K}{K^2}$.

• Перевірка: $\frac{1-\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}\times \frac{1}{4}}=12$
• За сталого коефіцієнта це експоненційне ковзне середнє
• Обираючи згасання, ви неявно обираєте $\frac{R}{Q}$

Ідея: Що сказати на співбесіді

Проговоріть прогноз і корекцію та назвіть, що контролює кожен шум.

• Коефіцієнт це частка точності
• Кілька вимірів: $P^{-}=FP{F}^T+Q$
• У сталому режимі фільтр це експоненційне середнє