Стаціонарність, ACF і часткова ACF

Ідея: Позиція, що ніколи не вгамовується

Денні виконання: середнє $0$, дисперсія $9$, незалежні. Позиція їх підсумовує, тож дисперсія росте.

• $4$ дні: $4\times 9=36$; $25$ днів: $25\times 9=225$
• Сталої дисперсії немає: ряд не стаціонарний

Ідея: Слабка стаціонарність

Ряд стаціонарний, коли виконано $3$ умови. На них спирається кожна оцінка з історії.

• Середнє не залежить від $t$
• Дисперсія скінченна й стала
• Коваріація залежить лише від лагу $k$

Формула: Дисперсія $\mathrm{AR}(1)$

$V=\frac{{\sigma }^2}{1-{\varphi }^2}$

Рівень, на якому усталюється стаціонарна $\mathrm{AR}(1)$. При φ = 1 формула ламається: одиничний корінь.

Швидка перевірка: Стіл, що розвантажується

Позиція йде за $I_t=0,8I_{t-1}+N_t$, дисперсія виконань $9$. Яка довгострокова дисперсія?

Формула: $\mathrm{ACF}$ для $\mathrm{AR}(1)$

$\rho (k)={\varphi }^k$

Повільне геометричне згасання: $0,8$, $0,64$, $0,512$ для $\varphi =0,8$; при φ < 0 знаки чергуються.

Ідея: $\mathrm{ACF}$ для $\mathrm{MA}(1)$

Шок спільний лише для сусідів: $\rho (1)=\theta /(1+{\theta }^2)$, а після лагу $1$ нуль.

• $\theta =0,5$: $\frac{0,5}{1+0,25}=0,4$
• За модулем $\rho (1)$ ніколи не перевищує $\frac{1}{2}$
• $\mathrm{MA}(q)$ обривається після лагу $q$

Формула: Часткова автокореляція

$\mathrm{PACF}(2)=\frac{\rho (2)-\rho (1{)}^2}{1-\rho (1{)}^2}$

Кореляція на лагу 2 понад те, що передає сам лаг 1.

Приклад: Часткова на лагу 2

Ряд має $\rho (1)=0,5$ і $\rho (2)=0,4$. Знайдіть часткову автокореляцію на лагу $2$.

1. $0,5\times 0,5=0,25$
2. $\frac{0,4-0,25}{1-0,25}=0,2$

Ідея: Читайте графіки

Зіставте обриви з моделлю.

• $\mathrm{AR}(p)$: $\mathrm{ACF}$ згасає, $\mathrm{PACF}$ обривається після $p$
• $\mathrm{MA}(q)$: $\mathrm{ACF}$ обривається після $q$, $\mathrm{PACF}$ згасає
• Смуга шуму $\frac{2}{\sqrt{n}}$: $\frac{2}{20}=0,1$ для $400$ точок

Типова помилка: Брати різниці з першого погляду

Повільна $\mathrm{ACF}$ ще не одиничний корінь: $\mathrm{AR}(1)$ з $\varphi =0,95$ стаціонарна, але $0,95^{10}\approx 0,6$.

Натомість Спершу тест на одиничний корінь. Зайві різниці створюють $\rho (1)=-\frac{1}{2}$ на порожньому місці.