Моделі ціноутворення опціонів

Ідея: Ціна через копію виплати

Зберіть виплату опціону з того, що вже має ціну. Жодного прогнозу майбутнього.

• Тримайте $\Delta$ акцій і позичте гроші так, щоб позиція платила, як колл
• Будь-яка інша ціна дає арбітраж

Приклад: Колл на один крок

Акція $60$ закінчить на $80$ або $50$, гроші дають $5\%$, страйк $65$. Оцініть колл.

1. Виплати $15$ і $0$: $\Delta =\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$
2. Позика сьогодні: $\frac{25}{1,05}=\frac{500}{21}$
3. Копія: $30-\frac{500}{21}=\frac{130}{21}$

Формула: Ваговий коефіцієнт ціни

$q=\frac{S_0(1+r)-S_d}{S_u-S_d}$

Ціна це виплата, усереднена з вагою q, потім дисконтована. Реальна ймовірність не з’являється.

Швидка перевірка: Знайдіть q

Те саме дерево: акція $60$, закінчить на $80$ або $50$, гроші $5\%$. Чому дорівнює $q$?

Ідея: Більше кроків: біноміальне дерево

Оцініть кінцеві вузли за виплатою, потім ідіть назад: вузол це дисконтоване $q$ середнє його нащадків.

• $n$ кроків потребують лише $n+1$ кінцевих вузлів
• Американські опціони: у кожному вузлі беріть більше з очікування й виконання

Формула: Швидка оцінка біля грошей

$C\approx 0,4S_0\sigma \sqrt{T}$

При r близько $0$: $0,4\times 200\times 30\%\times \frac{1}{2}=12$, проти близько $11,96$ за Блеком-Шоулзом.

Типова помилка: Ціна за власним поглядом

Дисконтувати очікувану виплату за вашим прогнозом акції.

Натомість Ціна йде з того, чим можна хеджувати. Оптимізм не робить колл дорожчим.

Ідея: Монте-Карло для залежних від шляху виплат

Змоделюйте багато шляхів під $q$, усередніть виплати, дисконтуйте.

• Похибка спадає як $\frac{1}{\sqrt{N}}$: удвічі менша потребує $10000\times 4=40000$ шляхів
• Дострокове виконання його слабке місце

Швидка перевірка: Перевірка без моделі

Те саме дерево, пут зі страйком $65$. Оцініть його й перевірте $C-P=S_0-\frac{K}{1+r}$.