Ризик-нейтральні міри

Ідея: Прогноз і ціна

Стратег каже $60\%$ на зростання, трейдер оцінює з $35\%$. Ніхто не помиляється.

• Перше це прогноз
• Друге це набір цінових ваг, міра $Q$

Приклад: Знайдіть вагу

Акція $100$ закінчить рік на $130$ або $90$, гроші дають $4\%$. Чому дорівнює $q$?

1. $q=\frac{100\times 1,04-90}{130-90}$
2. $\frac{14}{40}=\frac{7}{20}$

Формула: Дисконтовані ціни є мартингалами

$S_0=\frac{E_Q[S_T]}{1+r}$

Під Q кожен актив росте зі ставкою грошей. Премію за ризик уже враховано в ціні.

Ідея: Реальна міра не проходить перевірку

З реальними $60\%$: $0,6\times 130+0,4\times 90=114$, очікувана дохідність $14\%$.

• Акція платить $10\%$ понад гроші за ризик
• Під $Q$: $\frac{0,35\times 130+0,65\times 90}{1,04}=100$
• Ніхто не вважається байдужим до ризику

Ідея: Ціни станів

Скільки ви платите сьогодні за $1$ в одному стані й нічого в інших.

• Угору: $\frac{0,35}{1,04}=\frac{35}{104}$, униз: $\frac{0,65}{1,04}=\frac{5}{8}$
• Сума $\frac{35}{104}+\frac{5}{8}=\frac{25}{26}$, ціна гарантованої $1$
• Поганий стан дорожчий: там гроші важать найбільше

Швидка перевірка: Оцініть вимогу

Той самий ринок. Вимога платить $20$ у стані вгору й $0$ інакше. Скільки вона коштує?

Типова помилка: Читати q як прогноз

Вага $35\%$ не означає, що ринок чекає зростання в $35\%$ випадків.

Натомість Вона змішує реальні ймовірності з тим, скільки платять, щоб уникнути стану. Прогноз потребує моделі премій за ризик.

Ідея: Чому міра існує

Відсутність арбітражу дає додатні ціни станів, а їхнє масштабування дає $Q$.

• Повний ринок: кожну виплату можна скопіювати, тож $Q$ єдина
• Третя кінцева ціна з тими самими $2$ активами: багато мір і діапазон цін
• Колл-спреди читають $Q$ з котирувань, а ціни мають бути опуклими за страйком

Ідея: Скажіть на співбесіді

Скажіть, що $Q$ походить з відсутності арбітражу, а не з прогнозу.

• Покажіть мартингальну перевірку на акції
• Оцініть вимогу й зауважте, що єдиність потребує повного ринку