Вартість під ризиком і очікуваний дефіцит

Ідея: VaR це квантиль

Скільки можемо втратити завтра з обраною впевненістю? VaR на $95\%$ це найменше $x$, для якого $P(L\le x)\ge 95\%$.

• $L$ це завтрашня втрата, виграш рахується як від’ємна втрата
• Додавайте ймовірності від найкращого наслідку, доки не перейдете рівень

Швидка перевірка: Прочитайте VaR

Виграш $3$ з $70\%$, втрата $5$ з $20\%$, $12$ з $7\%$, $40$ з $2\%$, $100$ з $1\%$. Який VaR на $95\%$?

Типова помилка: Вважати VaR найгіршим випадком

VaR це найкращий з поганих днів, де починається хвіст. Замініть $100$ на $1000$, і він лишиться $12$.

Натомість Очікуйте близько $2,5$ пробоїв VaR на $99\%$ за $250$ днів, а їхнього розміру в числі немає.

Формула: Очікуваний дефіцит, ES

$\mathrm{ES}=\text{average}\text{loss}in\text{the}\text{worst}5\%$

Середнє по хвосту за рівнем VaR. Обрізайте хвіст рівно до його розміру.

Приклад: ES тієї самої книги

Та сама книга. Яке ES на $95\%$?

1. Заповніть найгірші $5\%$ з кінця: $1+2+2=5$
2. Беремо лише $2\%$ із $7\%$ на $12$
3. Сума хвоста: $1\times 100+2\times 40+2\times 12=204$
4. $\frac{204}{5}=40,8$

Ідея: З нормальною моделлю

Із середнім $0$ обидва числа кратні $\sigma$. Це лише перший ескіз.

• $99\%$: VaR близько $2,326\sigma$, ES близько $2,665\sigma$
• За $4$ дні множте на $\sqrt{4}=2$, якщо дні незалежні
• Важкі хвости роблять нормальні множники заниженими

Швидка перевірка: Нормальний VaR

Денні прибутковості нормальні, середнє $0$, $\sigma =1,5\%$. Який VaR на $99\%$ у відсотках від книги?

Ідея: Чому для лімітів беруть ES

VaR не субадитивний: VaR суми може перевищити суму VaR.

• Кожна позика втрачає $10$ з $4\%$: окремо VaR на $95\%$ дорівнює $0$
• Разом $1-0,96^2=0,0784$, більше $5\%$, тож VaR $10$
• ES не карає за диверсифікацію: кожна $0,04\times \frac{10}{0,05}=8$, пара не більше $16$

Ідея: Скажіть на співбесіді

Спершу назвіть рівень і горизонт. VaR це квантиль, ES це середнє хвоста.

• Назвіть слабкі місця: VaR не бачить розміру хвоста
• Нормальна модель занижує важкі хвости