Похідні й оптимізація · Повторення матаналізу й лінійної алгебри

11 карток3 хв читанняМат. аналіз

Картка 1 з 11

Ідея: Нахил за питанням
Де крива має пік, яка вона крута, де дотична перетинає вісь: усе це нахил у точці.
- Тести на час переважно беруть многочлени
- Правило добутку: $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
- Кілька правил і одна уважна звичка покривають майже все
Формула: Правило степеня
$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$
Диференціюйте почленно; сталий множник лишається, сталий доданок зникає.
Приклад: Нахил кубічної
Знайдіть нахил $f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 7$ у точці $x = 2$ .
1. $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 10 x + 4$
2. У $x = 2$ : $6 \times 4 - 10 \times 2 + 4 = 8$
Формула: Правило ланцюга
$(g (h (x)))^{'} = g^{'} (h (x)) \times h^{'} (x)$
Продиференціюйте зовнішню функцію, лишіть внутрішню, потім помножте на похідну внутрішньої.
Типова помилка: Забути внутрішню функцію
Для $(3 x - 1)^{4}$ написати $4 (3 x - 1)^{3}$ і зупинитися без множника $3$ .
Натомість Помножте на похідну внутрішньої: у $x = 1$ нахил $12 \times 8 = 96$ , а не $32$ .
Формула: Дотична
$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
У x = 0 вона перетинає вісь у f(a) − a f′(a), улюблене швидке питання.
Швидка перевірка: Де перетне дотична
Для $f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 4 x - 7$ де дотична в $x = 2$ перетинає вісь y?
Показати відповідь
Відповідь: $- 19$
$f (2) = - 3$ , нахил $8$ : $- 3 - 2 \times 8 = - 19$ , нижче за $- 3$ , як і має бути для зростаючої кривої.
Ідея: Крайні значення на відрізку
На $[a, b]$ найбільше й найменше значення лежать у критичній точці всередині або на кінці.
- Розв’яжіть $f^{'} (x) = 0$ , лишіть корені в $[a, b]$
- Обчисліть $f$ у них і на обох кінцях
- Виберіть найбільше й найменше зі списку
Приклад: Найбільше значення на [−2, 6]
Знайдіть найбільше значення $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ на $[- 2, 6]$ .
1. $f^{'} (x) = 3 (x - 3) (x + 1)$ : критичні точки $- 1$ і $3$
2. $f (- 1) = 10$ , $f (3) = - 22$ , $f (- 2) = 3$
3. Кінець $f (6) = 216 - 108 - 54 + 5 = 59$ дає найбільше
Типова помилка: Видати локальний максимум
Локальний максимум у $x = - 1$ дає $10$ , але найбільше значення $59$ на кінці.
Натомість Завжди додавайте кінці до списку й відкидайте корені $f^{'}$ поза відрізком.
Ідея: Як сказати на співбесіді
Проговоріть похідну вголос, член за членом, потім підставляйте.
- Дотична: спершу назвіть точку й нахил
- Оптимум: перелічіть кандидатів разом із кінцями
- Текстова задача: одна змінна та її допустимі межі

Ідея: Нахил за питанням

Формула: Правило степеня

Приклад: Нахил кубічної

Формула: Правило ланцюга

Типова помилка: Забути внутрішню функцію

Формула: Дотична

Швидка перевірка: Де перетне дотична

Ідея: Крайні значення на відрізку

Приклад: Найбільше значення на [−2, 6]

Типова помилка: Видати локальний максимум

Ідея: Як сказати на співбесіді