Інтеграли, границі й ряди · Повторення матаналізу й лінійної алгебри

11 карток2 хв читанняМат. аналіз

Картка 1 з 11

Ідея: Швидкі питання, стандартні ходи
Інтеграли, границі $\frac{0}{0}$ і нескінченні ряди мають хід, що зводить їх до арифметики.
- Інтеграл: правило степеня навпаки
- Границя: скоротіть прихований множник або порівняйте степені
- Ряд: знайдіть перший член і знаменник
Формула: Правило степеня навпаки
$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$
Для n ≠ −1. Інтеграл від a до b дорівнює F(b) − F(a) для будь-якої первісної F.
Приклад: Середнє значення
Яке середнє значення $3 x^{2} - 2 x + 1$ на $[0, 2]$ ?
1. Первісна: $F (x) = x^{3} - x^{2} + x$
2. $F (2) = 8 - 4 + 2 = 6$ і $F (0) = 0$ , тож інтеграл $6$
3. Поділіть на довжину $2$ : $\frac{6}{2} = 3$
Формула: Границя 0/0 це нахил
$p (c) = 0 \Rightarrow lim \frac{p ( x )}{x - c} = p^{'} (c)$
Вираз 0/0 означає, що ховається спільний множник: скоротіть його або візьміть похідну чисельника.
Швидка перевірка: Скоротіть прихований множник
Знайдіть границю $\frac{x ^{2} + 2 x - 15}{x - 3}$ , коли $x \to 3$ .
Показати відповідь
Відповідь: $8$
$x^{2} + 2 x - 15 = (x - 3) (x + 5)$ ; скоротіть, і $3 + 5 = 8$ .
Ідея: Границі на нескінченності
Для відношення многочленів, коли $x \to \infty$ , важать лише старші степені.
- Рівні степені: відношення старших коефіцієнтів
- Чисельник нижчого степеня: границя $0$
- Чисельник вищого степеня: скінченної границі немає
Типова помилка: Брати вільні члени
Для $\frac{6 x ^{2} + x - 4}{3 x ^{2} - 7 x + 2}$ вільні члени дають $- \frac{4}{2} = - 2$ : значення в $x = 0$ , а не на нескінченності.
Натомість Коли $x$ росте, важать лише члени з $x^{2}$ : $\frac{6}{3} = 2$ .
Формула: Геометричний ряд
$a + a r + a r^{2} + \dots = \frac{a}{1 - r}$
Потрібно |r| < 1. Якщо |r| ≥ 1, члени не меншають і скінченної суми немає.
Приклад: Ділимо навпіл без кінця
Знайдіть суму $5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{4} + \dots$ .
1. Перший член $5$ , знаменник $\frac{1}{2}$ , і $∣ r ∣< 1$
2. Сума: $\frac{5}{1 - \frac{1}{2}} = 10$
Швидка перевірка: Ряд, зважений позицією
Чому дорівнює $\frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \dots$ ?
Показати відповідь
Відповідь: $2$
$\sum k r^{k} = \frac{r}{( 1 - r ) ^{2}}$ , тож $\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2$ : середня кількість підкидань до першого орла.
Ідея: Спершу назвіть хід
Скажіть, який хід застосовуєте, до обчислень.
- Інтеграл: назвіть первісну, потім підставляйте межі
- $\frac{0}{0}$ : скажіть, що скорочується; на нескінченності порівняйте степені
- Ряд: перший член, знаменник, перевірка $∣ r ∣< 1$ , тоді сума

Ідея: Швидкі питання, стандартні ходи

Формула: Правило степеня навпаки

Приклад: Середнє значення

Формула: Границя 0/0 це нахил

Швидка перевірка: Скоротіть прихований множник

Ідея: Границі на нескінченності

Типова помилка: Брати вільні члени

Формула: Геометричний ряд

Приклад: Ділимо навпіл без кінця

Швидка перевірка: Ряд, зважений позицією

Ідея: Спершу назвіть хід