Визначники й обернені матриці

Ідея: Одне число, що вирішує багато

Визначник каже, чи можна обернути матрицю і наскільки вона розтягує площу чи об’єм.

• Нуль: площину сплющено, оберненої немає
• Від’ємний: відображення ще й перевертає орієнтацію
• Він стоїть у знаменнику кожного елемента оберненої

Формула: Визначник 2 × 2

$\det \left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=ad-bc$

Рядки розділяє крапка з комою. Його модуль дорівнює площі образу одиничного квадрата.

Приклад: Матриця 3 × 3 через доповнення

Знайдіть $\det \left[\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 1& 4& 0\\ 2& 1& 5\end{array}\right]$.

1. Розкладіть за рядком $1$: член із $0$ зникає
2. Перший $3\times (4\times 5-0\times 1)=60$, останній $2\times (1\times 1-4\times 2)=-14$
3. Разом: $60-14=46$

Ідея: Дії з рядками

Спершу спростіть матрицю, знаючи, що кожен крок робить із визначником.

• Переставте $2$ рядки: знак змінюється
• Помножте рядок на $c$: визначник множиться на $c$
• Додайте кратне одного рядка до іншого: без змін

Швидка перевірка: Виключіть, потім перемножте

Знайдіть $\det \left[\begin{array}{ccc}2& 4& 2\\ 1& 5& 3\\ 3& 6& 7\end{array}\right]$.

Формула: Коефіцієнти розтягу множаться

$\det (AB)=\det (A)\det (B)$

Тож det(A⁻¹) = 1/det(A), а det(cA) = cⁿ det(A) для матриці n × n.

Формула: Обернена 2 × 2

$A^{-1}=\left(\frac{1}{ad-bc}\right)\times \left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$

Поміняйте діагональ місцями, змініть знак інших елементів, поділіть на визначник.

Приклад: Один елемент оберненої

Для $\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 2\end{array}\right]$ який елемент у рядку $2$, стовпці $1$ оберненої матриці?

1. Визначник: $5\times 2-2\times 3=4$
2. Цей елемент дорівнює мінус $c$ на визначник: $-\frac{3}{4}$

Типова помилка: Індекси міняються

Брати доповнення $(i,j)$ для елемента $(i,j)$ оберненої. Для $\left[\begin{array}{ccc}3& 0& 2\\ 1& 4& 0\\ 2& 1& 5\end{array}\right]$ вийде $-\frac{5}{46}$, а не $\frac{1}{23}$.

Натомість Елемент $(i,j)$ матриці $A^{-1}$ дорівнює $\frac{C_{ji}}{\det (A)}$. Це важить, коли матриця несиметрична.

Ідея: Коли час тисне

Шукайте нулі, перш ніж обрати рядок для розкладу.

• Корисного рядка немає: дії з рядками, стежте за перестановками й множниками
• Помножте обернену на $A$ і перевірте, що вийшла $I$
• Для одного елемента досить одного доповнення