Власні значення й лінійні системи

Ідея: Напрямки, які матриця зберігає

Власний вектор це напрямок, який матриця лише масштабує: $Av=\lambda v$, власне значення $\lambda$.

• Найбільше власне значення коваріацій є дисперсією найсильнішого фактора
• Шукайте їх з $\det (A-\lambda I)=0$
• Перевіряйте слідом і визначником

Формула: Власні значення 2 × 2

${\lambda }^2-\mathrm{tr}(A)\lambda +\det (A)=0$

Їхня сума дорівнює сліду, сумі діагоналі, а добуток дорівнює визначнику.

Приклад: Найбільше власне значення вручну

Яке найбільше власне значення $\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right]$?

1. $\det (A-\lambda I)=(5-\lambda )(2-\lambda )-4$
2. Тобто ${\lambda }^2-7\lambda +6=(\lambda -1)(\lambda -6)$
3. Перевірка слідом $6+1=7=5+2$; найбільше $6$

Ідея: Трикутна: читайте діагональ

Якщо під діагоналлю лише нулі, власні значення стоять на діагоналі.

• $\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 4\\ 0& -2& 5\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$: $3$, $-2$, $7$
• Сума $3-2+7=8$ дорівнює сліду
• Добуток $3\times (-2)\times 7=-42$ дорівнює визначнику

Швидка перевірка: Рядок, що допомагає

Яке найбільше власне значення $\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 0& 3& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right]$?

Типова помилка: Дії з рядками нищать власні значення

Перехід від $\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 2\end{array}\right]$ до $\left[\begin{array}{cc}5& 2\\ 0& 1,2\end{array}\right]$ зберігає визначник $5\times 1,2=6$, але $5$ і $1,2$ не власні значення.

Натомість Читайте власні значення з діагоналі лише тоді, коли початкова матриця трикутна.

Приклад: Розв’язок виключенням

Розв’яжіть $x+2y+z=8$, $2x+y-z=1$, $x-y+2z=5$. Чому дорівнює $x$?

1. Друге мінус подвоєне перше: $-3y-3z=-15$, тож $y+z=5$
2. Третє мінус перше: $-3y+z=-3$; далі $4y=8$, $y=2$, $z=3$
3. Перше рівняння: $x=8-4-3=1$

Формула: Правило Крамера

$x=\frac{\det (A_x)}{\det (A)}$

Замініть стовпець невідомого правою частиною, візьміть визначник і поділіть на det(A).

Швидка перевірка: Крамер у 2 рядки

Розв’яжіть $3x+4y=18$ і $2x-y=1$ за правилом Крамера. Чому дорівнює $y$?

Ідея: Коли годинник іде

Для власних значень шукайте трикутник або зручний рядок, перш ніж розкладати.

• Підтвердіть слідом і визначником
• Якщо $\det (A)=0$: розв’язків немає або їх безліч
• Для системи підставте відповідь назад у рівняння