Очікуване значення і справедлива ціна

Ідея: Одне число для невизначеної виплати

Помножте кожну виплату на її ймовірність і додайте.

• Це середнє на одну гру на довгій дистанції
• Воно не мусить бути можливим результатом

Формула: Сподівання

$E[X]=\sum x\times P(x)$

Сума по всіх наслідках: виплата, помножена на її ймовірність.

Приклад: Виграти 10 або втратити 2

Ставка виграє $10$ з імовірністю $\frac{1}{4}$, інакше втрачає $2$. Яке її сподівання?

1. $\frac{1}{4}\times 10-\frac{3}{4}\times 2=1$
2. За $400$ ігор: $100\times 10-300\times 2=400$, тож $\frac{400}{400}=1$

Ідея: Середнє кубика

Чесний кубик платить свою грань: $\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2}$.

• $n$ граней від $1$: середнє $\frac{n+1}{2}$
• $8$ граней: $\frac{8+1}{2}=\frac{9}{2}$
• $2$ кубики: $2\times \frac{7}{2}=7$

Приклад: Гра з внеском

Кубик платить $18$ за $6$, $6$ за $5$, інакше нічого. Гра коштує $5$. Скільки вона варта?

1. Виплата: $\frac{1}{6}\times 18+\frac{1}{6}\times 6+\frac{4}{6}\times 0=4$
2. Нетто за внеску: $4-5=-1$, тож відмовтеся
3. Справедлива ціна: очікувана виплата, $4$

Типова помилка: Брутто проти нетто

У нетто-виплатах внесок віднімається від кожної грані, навіть від тих, що нічого не платять.

Натомість Пишіть там $-5$, а не $0$: $\frac{1}{6}\times 13+\frac{1}{6}\times 1+\frac{4}{6}\times (-5)=-1$.

Ідея: Імовірність це теж сподівання

Квиток, що платить $1$, якщо подія сталася, вартий її ймовірності.

• Сума $7$ на $2$ кубиках: $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$
• Хоча б одна $6$: $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{11}{36}$

Швидка перевірка: Платять парні грані

Чесний кубик платить свою грань, якщо вона парна, інакше нічого. Яка справедлива ціна гри?

Ідея: Проговорюйте вголос

Назвіть наслідки, їхні ймовірності і чи суми до внеску, чи після.

• Завершіть рішенням: «варта $4$, тож за $5$ відмовляюся»
• Справедлива ціна відповідає й на наступне питання