Лінійність очікування

Ідея: Рахуйте малими питаннями

Запишіть кількість як суму індикаторів «так чи ні» і додайте їхні середні.

• Середнє індикатора це його ймовірність
• Залежність між ними не має значення

Формула: Лінійність сподівання

$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$

Справджується для будь-яких X і Y зі скінченним середнім, незалежних чи ні. Також E[aX + b] = aE[X] + b.

Приклад: Червоні кулі за 3 вибори

В урні $6$ червоних і $4$ сині. Тягнете $3$ без повернення. Скільки червоних очікуєте?

1. Кожен вибір окремо червоний із шансом $\frac{6}{10}$
2. Додайте індикатори: $3\times \frac{6}{10}=\frac{9}{5}$

Ідея: Довгий шлях збігається

Перелік усіх наборів займає значно більше часу.

• $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=120$ наборів
• Зважена кількість: $\frac{36+120+60}{120}=\frac{9}{5}$

Ідея: Оберіть, до чого прив’язати індикатор

Прив’язуйте індикатори до того, що робить одну ймовірність простою.

• Позиція, людина, пара сусідів, значення
• Рецепт: індикатор, одна ймовірність, потім додати

Швидка перевірка: Трейдери без роботи

$4$ ордери навмання йдуть до одного з $3$ трейдерів. Скільки трейдерів у середньому не отримають жодного?

Типова помилка: Лінійність для добутків

Лінійність стосується лише сум, а не добутків чи максимумів.

Натомість Обидва вибори червоні: $\frac{6}{10}\times \frac{5}{9}=\frac{1}{3}$, а не $\frac{6}{10}\times \frac{6}{10}=\frac{9}{25}$.

Ідея: Ставка це індикатор

Виграш $10$ з $\frac{1}{4}$, інакше втрата $2$: певні $-2$ плюс $12$ разів індикатор виграшу.

• Середнє: $-2+12\times \frac{1}{4}=1$
• Портфель позицій додається так само, а ризик ні

Ідея: Проговорюйте вголос

Визначте індикатор повним реченням: він дорівнює $1$, якщо це стається з елементом k.

• Скажіть, чому ймовірність однакова для всіх елементів
• Скажіть, що залежність тут не має значення