Дисперсія і ризик

Ідея: Те саме середнє, різний ризик

Певна $1$ і кидок, що виграє $3$ або втрачає $1$, мають те саме середнє, але не той самий ризик.

• Дисперсія: середній квадрат відстані від середнього
• Стандартне відхилення: корінь із неї, в одиницях виплати

Формула: Дисперсія

$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X{]}^2$

Середнє квадрата мінус квадрат середнього.

Приклад: Дисперсія кидка

Чесний кидок виграє $3$ або втрачає $1$. Яка дисперсія?

1. Середнє: $\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\times 1=1$
2. $\frac{1}{2}\times (3-1{)}^2+\frac{1}{2}\times (-1-1{)}^2=4$

Формула: Дисперсія ставки

$\mathrm{Var}=p(1-p)(w+l{)}^2$

Виграш w із шансом p, інакше втрата l. Важить лише різниця w + l.

Ідея: Чесний кубик

Для чесного кубика дисперсія $\frac{91}{6}-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{35}{12}$.

• $n$ граней: $\frac{n^2-1}{12}$
• $8$ граней: $\frac{8^2-1}{12}=\frac{21}{4}$
• Стандартне відхилення кубика: близько $1,71$

Ідея: Масштаб проти повторення

Збільште ставку в k разів: відхилення зросте в k, дисперсія в k² разів. n незалежних копій: дисперсія в n разів.

• У $100$ разів більша ставка: відхилення $200$
• $100$ незалежних кидків: відхилення $20$
• Той самий прибуток, ризик у $\frac{200}{20}=10$ разів менший

Формула: Дисперсія суми

$\mathrm{Var}(X+Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)$

Дисперсії додаються лише для незалежних або некорельованих ставок.

Типова помилка: Подвійна ставка це не 2 ставки

Подвоїти ставку не те саме, що зіграти $2$ незалежні рази.

Натомість Дисперсія $2^2\times 4=16$ проти $2\times 4=8$. Додавайте дисперсії, потім беріть корінь.

Швидка перевірка: Виграти 5 або втратити 1

Ставка виграє $5$ з імовірністю $\frac{1}{4}$, інакше втрачає $1$. Яка її дисперсія?

Ідея: Проговорюйте вголос

Спершу середнє, потім дисперсія, потім стандартне відхилення в одиницях виплати.

• Скажіть, що припускаєте незалежність, перш ніж додавати
• Більша ставка масштабує ризик пропорційно, більше ставок як корінь