Розмір ставки і правило Келлі

Ідея: Вигідна ставка все одно може розорити

Капітал реінвестується: результати множаться, і поганий множник не виправити.

• Усе на кон $10$ раундів: виживання з ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{10}\approx 0,0001$
• Очікуваний капітал приховує, що майже кожна гра закінчується нулем

Ідея: Дивіться на зростання

Візьміть $5$ раундів із $2$ виграшами і $3$ програшами, ставлячи сталу частку капіталу.

• Ставка $10\%$: $1,2^2\times 0,9^3\approx 1,050$
• Ставка $50\%$: $2^2\times 0,5^3=\frac{1}{2}$
• Ставка $100\%$: $3^2\times 0^3=0$

Формула: Частка Келлі

$f\cdot =p-\frac{q}{b}$

Шанс виграшу p, програшу q = 1 − p, виграш b на 1 ставки. Нуль чи менше: не ставте.

Приклад: Келлі для ставки

Ставка платить $2$ на $1$ з імовірністю $\frac{2}{5}$, інакше ви втрачаєте поставлене. Яку частку ставити?

1. $p=\frac{2}{5}$, $q=\frac{3}{5}$, $b=2$
2. Келлі: $\frac{2}{5}-\frac{\frac{3}{5}}{2}=\frac{1}{10}$

Ідея: Контракти теж підходять

Контракт за ціною c, що платить $1$, виграє $b=\frac{1-c}{c}$ на витрачений долар.

• Ціна $0,25$: $\frac{1-0,25}{0,25}=3$
• Далі $f\cdot =p-\frac{q}{b}$, як завжди

Швидка перевірка: Келлі на контракті

Контракт коштує $0,25$ і платить $1$. Ви вважаєте, що він спрацює з шансом $\frac{1}{2}$. Яка частка Келлі?

Ідея: Чому практики ставлять менше

Келлі повністю довіряє вашому p, а p лише оцінка.

• Приблизно за подвійного Келлі зростання майже зникає
• Половина Келлі: приблизно на чверть менше зростання, коливання вдвічі менші
• Половина ставки, дисперсія в $\frac{21600}{5400}=4$ рази менша

Типова помилка: Перевага це не ставка

Перевага тут $\frac{1}{5}$ на долар; поставити стільки вже подвійний Келлі.

Натомість Визначайте розмір за $f\cdot =p-\frac{q}{b}$. Та сама перевага за довших коефіцієнтів вимагає меншої ставки.

Ідея: Проговорюйте вголос

Сподівання вирішує, чи ставити; розмір вирішує скільки.

• Назвіть частку Келлі з p, q і b
• Скажіть, що поставили б половину або менше