Мартингали й чесні ігри

Ідея: Стратегія, що виграє $75\%$

Фіксація прибутку на $+2$ тиках, стоп на $-6$, чесна блуканка тиків. Виграє $75\%$ угод.

• Очікуваний прибуток: $\left(\frac{3}{4}\right)\times 2-\left(\frac{1}{4}\right)\times 6=0$
• Частка виграшів походить від того, де стоять бар’єри

Формула: Мартингал

$E[M_{t+1}\mid F_t]=M_t$

З огляду на все відоме, найкращий прогноз наступного значення є поточним: чесна гра.

Ідея: Перевірка за один крок

Обумовте сьогоднішнім і зробіть один крок: середнє має лишитися на місці.

• Чесна блуканка $S_t$
• $S_t^2-t$, бо $E[(S_t+ϵ{)}^2\mid F_t]=S_t^2+1$
• $r^{S_t}$ для зміщеної блуканки, де $r=\frac{q}{p}$

Формула: Довільна зупинка

$P(+b\text{first})=\frac{a}{a+b}$

Зупиніть чесну блуканку на бар’єрах +b і −a; чесність гри дає шанс верхнього.

Приклад: Спершу ціль

Чесна блуканка стартує з $0$ між бар’єрами $+2$ і $-6$. Яка ймовірність першим досягти $+2$?

1. Чесна гра: $P\times 2-(1-P)\times 6=0$
2. $P=\frac{6}{6+2}=\frac{3}{4}$

Швидка перевірка: Скільки триває угода

Чесна блуканка з $0$ зупиняється на $+2$ або $-6$. Скільки тиків вона триває в середньому?

Типова помилка: Подвоєння після кожного програшу

Здається, що завжди виходите в плюс на $1$. За $5$ ставок ви втрачаєте $31$ з шансом $\frac{1}{32}$.

Натомість Гра все одно чесна: $\left(\frac{31}{32}\right)\times 1-\left(\frac{1}{32}\right)\times 31=0$. Необмежені ставки зламали умови зупинки.

Типова помилка: Висока частка виграшів як перевага

Правило зупинки в чесній грі може підняти частку виграшів як завгодно високо.

Натомість Важить лише очікуваний прибуток. За обмежених ставок і скінченного часу жоден вихід не зрушить його з $0$.

Ідея: Проговорюйте вголос

Назвіть мартингал, перевірте його за крок, назвіть момент зупинки та його умову.

• Потім розв’яжіть лінійне рівняння
• Перевага походить від нечесної ціни, а не від хитрого виходу