Пуассонівські процеси й процеси відновлення

Ідея: Надходження без пам’яті

Пуассонів процес зі швидкістю $\lambda$ має незалежні кількості в окремих вікнах.

• Кількість за час $t$: середнє й дисперсія обидва $\lambda t$
• Блоки по $9$ за годину, вікно $20$ хвилин: $9\times \frac{20}{60}=3$
• Спершу назвіть $\lambda t$, потім рахуйте

Формула: Пуассонова кількість

$P(N(t)=k)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}$

Імовірність рівно k надходжень у вікні довжини t.

Ідея: Проміжки забувають минуле

Проміжки є незалежними експоненційними із середнім $1/\lambda$. Ніщо ніколи не «належить».

• $P(T>s+u\mid T>s)=P(T>u)$
• Після тихих пів години наступний блок не ближчий
• Порожнє вікно за $\lambda t=3$: $e^{-3}\approx 0,0498$

Формула: Злиття потоків

$P(\text{from}\text{stream}a)=\frac{a}{a+b}$

Злиті пуассонові потоки додають швидкості, а джерело кожного надходження визначає монета з такими шансами.

Швидка перевірка: Чи наступна заявка на купівлю?

Купівлі надходять по $6$ за хвилину, продажі по $3$, обидва потоки пуассонові. Яка ймовірність, що наступна заявка на купівлю?

Приклад: Де опинилися блоки?

Прийшло $4$ блоки за $1$ годину. Яка ймовірність, що рівно $1$ припав на перші $15$ хвилин?

1. За відомої кількості часи рівномірні: $\mathrm{Binomial}\left(4,\frac{1}{4}\right)$
2. $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)\times \left(\frac{1}{4}\right)\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{64}$

Ідея: Відновлення: проміжки будь-якої форми

Незалежні проміжки з одним розподілом і середнім $\mu$ дають надходження зі швидкістю $1/\mu$.

• Винагорода за одиницю часу: $\frac{E[R]}{E[X]}$, відношення середніх
• Проміжки $1$ або $19$ секунд, шанси $0,9$ і $0,1$: середнє $0,9\times 1+0,1\times 19=2,8$

Приклад: Парадокс інспекції

Проміжки $1$ секунда з шансом $0,9$, $19$ з шансом $0,1$. Ви приходите у випадковий момент. Очікувана довжина вашого проміжку?

1. $E[X]=0,9\times 1+0,1\times 19=2,8$
2. $E[X^2]=0,9\times 1+0,1\times 361=37$
3. Ваш проміжок: $\frac{37}{2,8}=\frac{185}{14}$

Типова помилка: Середній проміжок не ваш

Довгі проміжки займають більше часу, тож випадковий момент частіше в них потрапляє.

Натомість Беріть $\frac{E[X^2]}{E[X]}$. Для Пуассона ваш проміжок має середнє $2/\lambda$, а не $1/\lambda$.

Ідея: Проговорюйте вголос

Назвіть властивість: незалежні кількості, відсутність пам’яті, злиття чи розщеплення.

• Реальні угоди йдуть сплесками: стала швидкість лише перша модель
• Дисперсія кількості більша за середнє: пуассонова похибка завузька