Випадкові блукання й броунівський рух

Ідея: Шлях, а не число

Стохастичний процес це сім’я $X_t$ у часі; кожен наслідок є цілим шляхом.

• Кінцева точка: де ціна закриється
• Шлях: чи торкнеться вона стопу дорогою

Формула: Проста випадкова блуканка

$E[S_n]=0,\mathrm{Var}(S_n)=n$

Чесні кроки +1 або −1: дрейфу немає, а розкид росте як √n, а не як n.

Приклад: Фініш на +2

Чесна блуканка робить $4$ кроки $+1$ або $-1$. Чому дорівнює $P(S_4=2)$?

1. Потрібно кроків угору: $\frac{4+2}{2}=3$
2. Шанс: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)}{2^4}=\frac{1}{4}$

Формула: Принцип відбиття

$P(\max S\ge a)=P(S_n\ge a)+P(S_n>a)$

Відбийте шлях після першого дотику: кожен дотик із фінішем нижче має пару з фінішем вище.

Швидка перевірка: Дотик до стопу

Чесна блуканка робить $6$ кроків від $0$. Яка ймовірність, що вона колись торкнеться $+2$?

Ідея: Від тиків до броунівського руху

Зменшуйте тики, і блуканка прямує до броунівського руху $W_t$.

• $W_0=0$, неперервні шляхи, ніде не гладкі
• Незалежні прирости: $W_t-W_s\sim N(0,t-s)$
• $\mathrm{Cov}(W_s,W_t)=\min (s,t)$

Приклад: Дисперсія суми

Знайдіть $\mathrm{Var}(W_2+W_5)$ для броунівського руху.

1. Перепишіть: $W_2+W_5=2W_2+(W_5-W_2)$
2. Незалежні частини: $4\times 2+3=11$

Типова помилка: Вважати моменти незалежними

Додавати $2+5=7$, ніби $W_2$ і $W_5$ незалежні. Вони мають спільний шлях до моменту $2$.

Натомість Спершу перепишіть позицію через незалежні прирости.

Ідея: Проговорюйте вголос

Скажіть, на що відповідаєте: про кінцеву точку чи про шлях.

• Ризик росте як √часу: $1\%$ на день дає близько $4\%$ за $16$ днів
• Стоп спрацьовує частіше, ніж закриття за ним: близько $0,32$ проти $0,16$
• Реальні ціни стрибають, мають важкі хвости й кластери волатильності