Доповнення і незалежність

Ідея: Рахуйте те, чого не хочете

Деякі події легко рахувати з протилежного боку. Доповнення $A^c$ це все поза $A$.

• Перевертайте на «хоча б один», «не всі», «якась пара збігається»
• Знайдіть шанс «жодного» й відніміть від $1$

Формула: Правило доповнення

$P(A)=1-P(A^c)$

Подія та її доповнення покривають список рівно один раз.

Приклад: Хоча б одна 6 за 3 кидки

Киньте чесний кубик $3$ рази. Яка ймовірність хоча б однієї $6$?

1. Без $6$: $5\times 5\times 5=125$ із $6^3=216$ наслідків
2. Хоча б одна: $1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}$

Формула: Хоча б один успіх за n спроб

$P(\ge 1\text{success})=1-(1-p{)}^n$

n незалежних спроб, кожна з шансом p. За 5 підкидань монети хоча б один орел: 31/32.

Ідея: Несумісність не є незалежністю

Несумісні події не стаються разом. Незалежні нічого не кажуть одна про одну.

• Несумісні: додавайте, $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$
• Незалежні: множте, $\frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$
• Несумісні події з додатними шансами ніколи не незалежні

Формула: Включення й виключення

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Коли події перетинаються, відніміть те, що пораховано двічі. ∪ означає «одна або обидві», ∩ означає «обидві».

Типова помилка: Додавати шанси різних спроб

$3\times \frac{1}{6}=\frac{1}{2}$ для хоча б однієї $6$ за $3$ кидки рахує кидки з кількома шістками більше ніж раз.

Натомість Беріть доповнення: $1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\approx 0,42$. За $7$ кидків ця звичка дає $\frac{7}{6}>1$.

Швидка перевірка: Якась пара збігається

Киньте $3$ чесні кубики. Яка ймовірність, що щонайменше $2$ з них збігаються?

Ідея: Проговорюйте вголос

Перед обчисленням скажіть: «Знайду шанс, що не буде жодного, і відніму».

• Перед множенням скажіть, чому події незалежні
• Перед додаванням скажіть, що вони не стаються разом
• Назвіть припущення про незалежність, якого не було в умові