Умовна ймовірність і правило ланцюжка

Ідея: Новина викреслює наслідки

Ви щось дізналися, і частина наслідків зникла. Працюйте зі списком, що лишився.

• Ті, що лишились, рівноймовірні, якщо новина не віддає переваги жодному
• Рахуйте подію всередині того, що лишилось

Приклад: Перший кубик 6, якщо сума 9 або більше

Киньте $2$ кубики. Сума не менша за $9$. Яка ймовірність, що на першому $6$?

1. Суми від $9$ до $12$: лишається $4+3+2+1=10$ пар
2. Починаються з $6$: $(6,3)$, $(6,4)$, $(6,5)$, $(6,6)$
3. Шанс: $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$

Формула: Умовна ймовірність

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Частка B, яка є також A. Працює й тоді, коли наслідки не рівноймовірні.

Формула: Правило ланцюжка

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B\mid A)$

Кожен множник це шанс на списку, що лишився після попередніх кроків.

Приклад: Обидві карти чирви

Витягніть $2$ карти з колоди в $52$ карти без повернення. Яка ймовірність, що обидві чирви?

1. Перша: $\frac{13}{52}$
2. Друга, коли одна чирва вже вийшла: $\frac{12}{51}$
3. Обидві: $\frac{13}{52}\times \frac{12}{51}=\frac{1}{17}$

Ідея: Прийоми в ланцюжку

Ланцюжки виборів поєднуються зі звичними інструментами.

• Несумісні шляхи додаються: $\frac{5}{8}\times \frac{3}{7}+\frac{3}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{15}{28}$
• Вільний перший вибір: та сама масть потребує $\frac{12}{51}$
• Доповнення працює: $1-\frac{39}{52}\times \frac{38}{51}=\frac{15}{34}$

Типова помилка: Про який кубик новина?

«На першому кубику $6$» і «хоча б на одному $6$» це різні новини.

Натомість Перша лишає $6$ наслідків, тож на обох кубиках $6$ з шансом $\frac{1}{6}$. Друга лишає $36-25=11$, тож $\frac{1}{11}$.

Швидка перевірка: Оберіть урну, побачте червону

Урна $A$: $3$ червоні, $1$ синя. Урна $B$: $1$ червона, $1$ синя. Монета обирає урну, ви тягнете червону. Шанс, що це $A$?

Ідея: Проговорюйте вголос

Скажіть, що відомо, а потім розмір списку, що лишився.

• У ланцюжку кажіть «за умови першого вибору» для кожного множника
• Скажіть, що змінилося в колоді
• Спитайте, чи спосіб дізнатися новину залежить від наслідку