Вибір без повернення

Ідея: Порядок обираєте ви

Вибори без повернення залежні, але рахувати їх можна за порядком або як набір.

• Обидва шляхи збігаються, якщо ви послідовні
• Беріть ту саму домовленість у чисельнику й знаменнику

Приклад: Рівно 2 червоні з 3

В урні $5$ червоних і $4$ сині. Тягнете $3$ без повернення. Шанс рівно $2$ червоних?

1. Наборів: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{3}\right)=84$
2. Сприятливих: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=40$
3. Шанс: $\frac{40}{84}=\frac{10}{21}$

Ідея: Шлях за порядком

Один порядок, червона червона синя, має шанс $\frac{5}{9}\times \frac{4}{8}\times \frac{4}{7}=\frac{10}{63}$.

• Кожен порядок має той самий шанс
• $3$ місця для синьої кулі: $3\times \frac{10}{63}=\frac{10}{21}$

Формула: Рівно k червоних

$P(k\text{red})=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{k}\right)\times \frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{d-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+b}{d}\right)}$

r червоних, b синіх, d виборів без повернення. Для кількох k додайте випадки.

Типова помилка: Змішувати домовленості

$\frac{10}{63}$ це шанс одного конкретного порядку, а не $2$ червоних у будь-якому порядку.

Натомість Оберіть один раз: з порядком чи без, і тримайтеся цього вгорі й унизу.

Ідея: Усі позиції однакові

Поки нічого не відкрито, кожна позиція в перетасованій колоді має той самий шанс.

• Друга карта туз: $\frac{4}{52}=\frac{1}{13}$
• Друга карта чирва, тож перша чирва з шансом $\frac{12}{51}=\frac{4}{17}$
• Середня кількість червоних: $3\times \frac{5}{9}=\frac{5}{3}$

Швидка перевірка: Усі одного кольору

В урні $5$ червоних і $4$ сині. Тягнете $3$ без повернення. Шанс, що всі $3$ одного кольору?

Ідея: З поверненням

Повернення куль робить вибори незалежними.

• $2$ червоні за $3$ вибори: $3\times \frac{5}{9}\times \frac{5}{9}\times \frac{4}{9}=\frac{100}{243}$
• Проти $\frac{10}{21}\approx 0,48$ без повернення
• Середнє лишається $\frac{5}{3}$, але без повернення ближче до нього

Ідея: Проговорюйте вголос

Скажіть, яку домовленість обрали і чому.

• Назвіть розмір списку, потім сприятливу кількість
• Якщо є час, підтвердьте іншим шляхом
• Називайте симетрію, коли нею користуєтесь