Простір наслідків і підрахунок

Ідея: Спершу випишіть наслідки

Простір наслідків це список усього, що може статися. Випишіть його до будь-якої формули.

• Кожен елемент списку є наслідком
• Рівноймовірні наслідки перетворюють шанс на один дріб
• Більшість ранніх помилок через список, який лише здається чесним

Формула: Правило підрахунку

$P(A)=\frac{k}{n}$

Із n рівноймовірних наслідків k належать події, тож шанс дорівнює k поділити на n.

Ідея: Рахуйте список поетапно

Перемножте варіанти на кожному етапі, щоб порахувати весь список.

• $3$ кубики: $6^3=216$ наслідків
• $4$ монети: $2^4=16$ послідовностей
• Усі $3$ кубики парні: $3\times 3\times 3=27$ наслідків

Приклад: Сума 10 на 2 кубиках

Киньте пару чесних кубиків. Яка ймовірність, що сума дорівнює $10$?

1. Назвіть кубики червоним і синім: $6\times 6=36$ впорядкованих пар
2. Сума $10$: $(4,6)$, $(5,5)$, $(6,4)$
3. Шанс: $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$

Типова помилка: Рахувати суми замість наслідків

Пара кубиків має $11$ сум, але вони не рівноймовірні: $2$ має $\frac{1}{36}$, а $7$ має $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$.

Натомість Рахуйте впорядковані пари. Змішана пара на кшталт $(4,6)$ буває $2$ способами, дубль лише $1$.

Приклад: Рівно 2 орли за 4 підкидання

Підкиньте чесну монету $4$ рази. Яка ймовірність рівно $2$ орлів?

1. Список: $2^4=16$ послідовностей
2. Оберіть, які підкидання дали орла: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$
3. Шанс: $\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$

Швидка перевірка: Хоча б одна 6

Киньте $2$ чесні кубики. Яка ймовірність, що хоча б на одному випаде $6$?

Ідея: Середні беруться з того самого списку

Сподівання це середнє значення величини по рівноймовірних наслідках.

• Один кубик: $\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2}$
• Суми всіх $36$ пар дають $252$, тож $\frac{252}{36}=7$
• Те саме, що $2\times \frac{7}{2}=7$: середні додаються по кубиках

Ідея: Проговорюйте вголос

Спершу назвіть простір наслідків, його розмір і чому наслідки рівноймовірні.

• Кажіть «впорядковані пари», коли маєте їх на увазі
• Малі підрахунки перелічуйте, великі описуйте через вибір
• Перевірте, що підрахунки заповнюють увесь список