Нерівності концентрації · Інструменти розв’язання задач

10 карток2 хв читанняСтатистика

Картка 1 з 10

Ідея: Наскільки може схибити середнє
Нерівності концентрації обмежують великі відхилення за малих знань. Що більше знаєте, то сильніша межа.
- Лише середнє: Марков
- Дисперсія: Чебишов
- Діапазон і незалежність: Гьофдінг
Формула: Марков
$P (X \geq a) \leq \frac{E [ X ]}{a}$
Для величини, що ніколи не буває від’ємною, саме середнє обмежує верхній хвіст.
Швидка перевірка: Просідання за середнім
Просідання має середнє $4$ пункти. Яку межу дає Марков на шанс, що воно сягне $20$ ?
Показати відповідь
Відповідь: $\frac{1}{5}$
$\frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ , і межа досяжна: уся маса в $0$ та $20$ .
Формула: Чебишов для вибіркового середнього
$P (∣ X ˉ - μ ∣\geq ϵ) \leq \frac{σ ^{2}}{n ϵ ^{2}}$
Марков для квадрата відхилення: дисперсія обмежує обидва хвости, що спадають як 1/n.
Приклад: Скільки днів, щоб повірити
Денні результати мають дисперсію $25$ . Скільки днів тримають середнє в межах $1$ пункту з шансом збою не більше $5%$ ?
1. Чебишов: шанс збою не більший за $\frac{25}{n}$
2. Потрібно, щоб $\frac{25}{n}$ не перевищувало $0, 05$
3. Тож $n = \frac{25}{1 \times 0 , 05} = 500$ ; округліть угору, якщо не ціле
Формула: Гьофдінг
$P (∣ X ˉ - μ ∣\geq ϵ) \leq 2 exp (- \frac{2 n ϵ ^{2}}{w ^{2}})$
Незалежні значення в діапазоні ширини w: хвіст спадає експоненційно за n.
Ідея: Яка межа виграє
Частка влучань: $w = 1$ , дисперсія не більша за $\frac{1}{4}$ , і $ϵ = 0, 05$ .
- $n = 240$ : Гьофдінг $\approx 0, 6$ , Чебишов $\frac{5}{12}$ кращий
- $n = 2000$ : Гьофдінг $\approx 0, 00009$ , Чебишов лише $\frac{1}{20}$
- Експоненційна межа виграє глибоко в хвості, де живе ризик
Швидка перевірка: Розмір вибірки
Значення лежать у діапазоні ширини $10$ . Скільки їх дадуть показник Гьофдінга $3$ за $ϵ = 1$ ?
Показати відповідь
Відповідь: $150$
$n \geq k \frac{w ^{2}}{2 ϵ ^{2}}$ : $3 \times \frac{100}{2} = 150$ .
Типова помилка: Гьофдінг не на тих даних
Важкі хвости денних прибутків роблять $w$ здогадом, а вікна, що перекриваються, завищують $n$ .
Натомість Спершу перевірте незалежність і справжній діапазон; інакше межа виглядає строгою, але нічого не гарантує.
Ідея: Межа не є прогнозом
Межа є гарантією і часто груба: за $n = 240$ нормальна модель дає близько $0, 12$ , а не $\frac{5}{12}$ .
- Перевірка $100$ стратегій множить межу на $100$
- Експоненційний хвіст це витримає, хвіст $\frac{1}{n}$ переважно ні
- Скажіть, що знаєте, знайдіть n, тоді перевірте умови

Ідея: Наскільки може схибити середнє

Формула: Марков

Швидка перевірка: Просідання за середнім

Формула: Чебишов для вибіркового середнього

Приклад: Скільки днів, щоб повірити

Формула: Гьофдінг

Ідея: Яка межа виграє

Швидка перевірка: Розмір вибірки

Типова помилка: Гьофдінг не на тих даних

Ідея: Межа не є прогнозом