Стратегічне обумовлення

Ідея: Розбивайте за корисним фактом

Запитайте, який один факт, якби вам його сказали, зробив би задачу легкою, і обумовте на нього.

• Прихований стан, як-от режим ринку
• Випадкова кількість, як-от скільки угод прийде
• Результат першого кроку

Формула: Повна ймовірність

$P(A)=\sum P(A\mid B=b)P(B=b)$

Додайте легкі випадки, кожен зі своєю вагою; випадки покривають усе один раз, ваги дають $1$.

Приклад: Пробій за режимами

Спокійний, напружений і кризовий день мають шанси $50\%$, $30\%$, $20\%$; шанси пробою $1\%$, $5\%$, $20\%$. Шанс пробою?

1. Спокій: $0,5\times 0,01=0,005$
2. Напруга: $0,3\times 0,05=0,015$; криза: $0,2\times 0,2=0,04$
3. Разом: $0,005+0,015+0,04=0,06$

Типова помилка: Усереднювати умовні шанси

Запис $\frac{0,01+0,05+0,2}{3}\approx 0,087$ вважає режими рівноймовірними й завищує ризик майже наполовину.

Натомість Зважуйте на базові частоти. Якщо не можете назвати $P(B=b)$, ви обрали не ту змінну.

Ідея: Назвіть випадок, що несе відповідь

Криза має найменшу вагу, але несе $\frac{0,04}{0,06}=\frac{2}{3}$ ризику.

• Саме туди варто ставити хедж
• Середні розбиваються так само: $E[X]=\sum E[X\mid B]P(B)$
• Змінене число зачіпає лише один рядок роботи

Приклад: Випадкова кількість монет

Чесний кубик із гранями від $1$ до $4$ показує $N$, потім ви підкидаєте $N$ монет. Шанс рівно $1$ орла?

1. Якщо $N=m$, шанс дорівнює $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1}\right)}{2^m}$
2. Для $m$ від $1$ до $4$: $\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\frac{4}{16}=\frac{13}{8}$
3. Кожне $N$ має вагу $\frac{1}{4}$: $\frac{13}{8}\times \frac{1}{4}=\frac{13}{32}$

Формула: Аналіз першого кроку

$h_i=p{h}_{i+1}+(1-p)h_{i-1}$

Після одного кроку та сама задача постає з нового стану; розв’яжіть її за відомими краями.

Швидка перевірка: Блукання зі зсувом

З $2$ блукання йде вгору із шансом $\frac{2}{3}$, вниз із $\frac{1}{3}$ і зупиняється в $0$ або $4$. Шанс спершу дійти до $4$?

Ідея: Очікуваний час так само

Підкидання до першого орла: одне відбувається завжди, а потім у половині випадків ви знову на старті.

• $E[T]=1+\frac{1}{2}\times E[T]$, тож $E[T]=2$
• Жодної нескінченної суми
• Чесне блукання із середини дає $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$; зсув додає $\frac{4}{5}-\frac{1}{2}=\frac{3}{10}$

Ідея: Назвіть розбиття вголос

Назвіть його до обчислень: за режимом, за кількістю чи за першим кроком.

• Перевірте, що випадки покривають усе, а ваги дають $1$
• Розбирайте по одному випадку
• Наприкінці назвіть випадок, що несе відповідь