Індикатори

Ідея: Рахуйте індикаторами

Запишіть кількість як суму індикаторів, кожен дорівнює $1$, якщо подія сталася, і $0$, якщо ні.

• $E[I_A]=P(A)$
• Середньому незалежність не потрібна
• Оберіть одиницю: місця, дні, пари, значення

Формула: Лінійність індикаторів

$E[N]=\sum P(A_i)$

Очікувана кількість дорівнює сумі шансів, що кожну одиницю пораховано, залежні вони чи ні.

Приклад: Зміни знака у звіті

$12$ позицій у випадковому порядку, $5$ довгих і $7$ коротких. Очікувана кількість сусідів із різними знаками?

1. $11$ сусідніх пар; позначте кожну зміну
2. Пара змінює знак із шансом $2\times \frac{5}{12}\times \frac{7}{11}=\frac{35}{66}$
3. Очікувано змін: $11\times \frac{35}{66}=\frac{35}{6}$

Приклад: Рахуйте легший бік

$5$ заявок незалежно й рівномірно йдуть на $4$ майданчики. Скільки майданчиків очікувано задіяно?

1. Натомість позначте порожні майданчики
2. Один порожній із шансом ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5$: очікуємо $4\times {\left(\frac{3}{4}\right)}^5=\frac{243}{256}$ порожніх
3. Задіяно: $4-\frac{243}{256}=\frac{781}{256}$

Формула: Дисперсії потрібні пари

$\mathrm{Var}(N)=\sum \mathrm{Var}(I_i)+2\sum \mathrm{Cov}(I_i,I_j)$

Лінійність закінчується на середньому; для розкиду повертається коваріація кожної пари.

Ідея: Коваріація індикаторів проста

$I_i{I}_j$ є індикатором того, що сталися обидві події.

• $\mathrm{Var}(I)=p(1-p)$
• $\mathrm{Cov}(I_i,I_j)=P(A_i\cap A_j)-p_i{p}_j$
• Без повернення коваріація від’ємна

Швидка перевірка: Розкид перевірки

Виберіть $4$ із $12$ заявок без повернення; $3$ позначено. Дисперсія кількості позначених?

Типова помилка: Лінійність для дисперсії

Додавати $\mathrm{Var}(I_i)$, наче лінійність працює і для дисперсії. Це вірно лише за нульових коваріацій.

Натомість Середньому байдуже до залежності, дисперсії ніколи. Рахуйте пари.

Ідея: Як сказати на співбесіді

Назвіть індикатор одним реченням: нехай $I_i$ дорівнює $1$, якщо місце $i$ пораховано.

• Скажіть, що лінійності незалежність не потрібна
• Дайте шанс однієї одиниці, помножте, завершіть
• Питають про розкид: переходьте до пар і знаків коваріацій