Стохастичне домінування і корисність

Ідея: Порядок без функції корисності

Стохастичне домінування порівнює розподіли цілком і впорядковує їх одразу для цілої родини функцій корисності.

• Перший порядок: згоден кожен, хто хоче більше
• Другий порядок: згоден кожен, хто уникає ризику
• Обидва не спрацювали: порядок залежить від корисності

Формула: Домінування першого порядку

$F_X(t)\le F_Y(t),\forall t$

За будь-якого порога X не частіше за Y закінчує на ньому або нижче.

Приклад: Команди з тими самими виплатами

$A$ платить $0$, $10$, $30$ із шансами $0,1$, $0,5$, $0,4$; $B$ із $0,3$, $0,5$, $0,2$. Чи домінує $A$? Різниця середніх?

1. Накопичено в $0$ і $10$: $A$ має $0,1$, $0,6$; $B$ має $0,3$, $0,8$
2. $A$ всюди нижче за $B$, тож $A$ домінує
3. Площа між кривими: $0,2\times 10+0,2\times 20=6$

Типова помилка: Домінування не означає перемогу щоразу

Читати $X⪰Y$ як «X кращий за Y у кожному сценарії». Означення дивиться лише на розподіли.

Натомість На одній монеті $X$ платить $1$ або $3$, а $Y$ платить $2$ або $0$: $Y$ виграє на орлі, та $X$ домінує.

Ідея: Вище середнє нічого не доводить

$C$ платить $12$ напевно; $D$ платить $0$ або $40$ з рівними шансами, середнє $0,5\times 40=20$.

• Криві перетинаються, тож ніхто не домінує
• За $u(w)=w$ ви обираєте $D$
• За $u(w)=\sqrt{w}$ ви обираєте $C$: $\sqrt{12}\approx 3,46$ більше за $0,5\times \sqrt{40}\approx 3,16$

Формула: Домінування другого порядку

$S_X(t)=E[\max (t-X,0)]$

Якщо очікуваний недобір X за жодної цілі t не більший, кожен, хто уникає ризику, обирає X.

Приклад: Те саме середнє, більше шуму

$G$ платить $14$ або $16$, $H$ платить $5$ або $25$, кожне з рівними шансами. Очікуваний недобір нижче $20$?

1. $G$: $0,5\times 6+0,5\times 4=5$
2. $G$ не гірший за жодної цілі: він домінує
3. $H$: $0,5\times 15=7,5$

Формула: Єнсен для угнутої u

$E[u(X)]\le u(E[X])$

Хто уникає ризику, цінує ставку нижче за її середнє; різниця є премією за ризик.

Швидка перевірка: Ціна ризику

За $u(w)=\sqrt{w}$ ставка платить $100$ із шансом $\frac{1}{4}$, інакше $16$. Яка премія за ризик?

Ідея: Говоріть по порядку

Спершу порівняйте накопичені шанси: якщо одна крива ніде не вища за іншу, корисність не потрібна.

• Криві перетнулися: порівняйте середні, тоді недобори
• Обидва тести не спрацювали: порядок залежить від корисності
• Тоді покажіть відповідь для названої корисності