Квадрати й добутки навколо центра

Ідея: Квадрат від круглого сусіда

Зупиніться на найближчому круглому числі, потім внесіть поправку.

• Угору: $61^2=3600+120+1=3721$
• Униз: $47^2=2500-300+9=2209$
• Униз середній доданок міняє знак, останній лишається додатним

Формула: Поправка

$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$

Квадрат круглої частини, плюс або мінус подвоєний добуток, плюс малий квадрат.

Формула: Закінчується на 5

$(10n+5{)}^2=100n(n+1)+25$

Помножте старшу частину на наступне ціле й допишіть $25$.

Приклад: Квадрат 85

Обчисліть $85^2$.

1. Старша частина $8$, наступне ціле $9$
2. $8\times 9\times 100+25=7225$

Формула: Добуток навколо центру

$(c+d)(c-d)=c^2-d^2$

Множники на однаковій відстані від центру: квадрат центру мінус квадрат відстані.

Приклад: Різниця квадратів

Обчисліть $56\times 64$.

1. Центр $60$, відстань $4$
2. $60^2-4^2=3600-16=3584$

Формула: Обидва трохи нижче круглого

$(c-x)(c-y)=c(c-x-y)+xy$

Відстані $x$ і $y$ нижче $c$: кругла частина, потім додайте добуток відстаней.

Швидка перевірка: Біля 100

Обчисліть $97\times 94$.

Типова помилка: Загубити середній доданок

$(a-b{)}^2$ не дорівнює $a^2-b^2$: $50^2-3^2=2491$ насправді $47\times 53$.

Натомість Квадрат має середній доданок: $47^2=2209$. Назвіть форму до початку.

Ідея: Коли тисне час

Спершу гляньте на суму множників.

• Парна сума, зручний центр: різниця квадратів
• Обидва біля $100$: форма з відстанями
• Окремий квадрат: найближчий круглий сусід