Бібліотека задач

Кидають $2$ чесні $6$-гранні кубики незалежно. Яка ймовірність того, що сума дорівнює $9$?

Кидають $3$ чесні $6$-гранні кубики незалежно. Яка ймовірність того, що найбільше випале значення не перевищує $4$?

Кидають $2$ чесні $6$-гранні кубики незалежно. Яке математичне сподівання більшого з $2$ результатів? Дайте точний дріб.

Чесний $6$-гранний кубик кидають багаторазово й незалежно, а результати додають. Ви зупиняєтеся, щойно поточна сума стає не меншою за $7$. Яке математичне сподівання кількості кидків? Дайте точний нескоротний дріб.

Ви кидаєте чесний $6$-гранний кубик і отримуєте виплату, що дорівнює випалому числу. Побачивши будь-який результат, ви можете відхилити його й кинути знову, але загалом дозволено щонайбільше $3$ кидки, а останній кидок, якщо до нього дійшло, треба залишити. Яке математичне сподівання виплати при оптимальній грі, що максимізує виплату? Дайте точний нескоротний дріб.

Справедливу монету підкидають $6$ разів незалежно. Яка ймовірність того, що всі $6$ результатів однакові (усі орли або усі решки)? Дайте дріб у нескоротному вигляді.

Справедливу монету підкидають незалежно знову і знову. У ряду результатів стежать за послідовностями $\text{HTH}$ та $\text{HHT}$ ($H$ — орел, $T$ — решка), перекриття з попередніми підкиданнями враховуються. Яка ймовірність того, що $\text{HTH}$ з’явиться раніше за $\text{HHT}$? Дайте дріб у нескоротному вигляді.

Акція зростає завтра з імовірністю $0,4$. Модель подає сигнал на зростання з імовірністю $0,9$, коли акція зросте, і з імовірністю $0,2$, коли не зросте. Сигнал подано. Яка ймовірність того, що акція зросте?

Незалежно кидають $2$ чесні $6$-гранні кубики. Відомо, що принаймні на одному випало $6$. Яка ймовірність того, що сума не менша за $10$?

Актив коштує $110$ або $90$ з однаковою ймовірністю. Приходить трейдер: з імовірністю $0,25$ він поінформований і купує, якщо вартість $110$, та продає, якщо вона $90$; інакше він непоінформований і купує чи продає з імовірністю $\frac{1}{2}$ кожне. Ви, маркет-мейкер, бачите купівлю. Яке математичне сподівання вартості активу за цієї умови?

У мішку лежать $3$ монети з імовірностями орла $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{2}$ та $\frac{3}{4}$. Одну монету обирають навмання (усі рівноймовірні) і незалежно підкидають $3$ рази, отримуючи $3$ орли. Яка ймовірність того, що наступне підкидання тієї самої монети дасть орла?

У добре перетасованій стандартній колоді $52$ карти, серед них $4$ тузи. Ви тягнете $2$ карти без повернення. Яка ймовірність, що обидві карти — тузи? Дайте дріб у найпростішому вигляді.

У колоді $10$ карт з номерами від $1$ до $10$. Ви навмання тягнете $2$ карти без повернення. Яка ймовірність, що сума номерів парна? Дайте дріб у найпростішому вигляді.

У стандартній колоді $52$ карти, з яких $26$ червоні. Ви навмання роздаєте $3$ карти без повернення. Яка ймовірність, що рівно $2$ з них червоні? Дайте дріб у найпростішому вигляді.

У колоді $20$ карт, і рівно $3$ з них позначені. Колоду рівноймовірно перетасовано, і ви відкриваєте карти по одній, доки не з’явиться перша позначена. Яке математичне сподівання кількості відкритих карт, враховуючи саму позначену? Дайте дріб у найпростішому вигляді.

Несиметрична монета випадає орлом з імовірністю $\frac{3}{4}$ при кожному незалежному підкиданні. Її підкидають, доки вперше не випаде решка. Яке математичне сподівання кількості підкидань, враховуючи підкидання, на якому випала решка?

Чесну монету підкидають із незалежними підкиданнями. Яке математичне сподівання кількості підкидань, доки вперше не з’являться $3$ орли підряд?

Чесну монету підкидають $6$ разів, підкидання незалежні. Яка ймовірність, що десь у послідовності з’являться щонайменше $3$ орли підряд?

Деск A надсилає $60\%$ усіх ордерів, а деск B надсилає решту $40\%$. Ордер від деска A хибний з імовірністю $5\%$, а ордер від деска B хибний з імовірністю $10\%$, незалежно між ордерами. Навмання обрано один ордер, і він хибний. Яка імовірність, що він надійшов від деска B? Дайте нескоротний дріб.

У коробці $5$ червоних фішок і $3$ синіх фішки. Ви виймаєте $2$ фішки одну за одною без повернення, і кожна фішка, що залишилась, однаково ймовірна. Відомо, що друга фішка синя. Яка імовірність, що перша фішка також синя? Дайте нескоротний дріб.

Ринок перебуває у режимі високої волатильності з імовірністю $0,2$ і в режимі низької волатильності з імовірністю $0,8$. Кожного дня за умови режиму різкий рух відбувається незалежно з імовірністю $0,7$ у високому режимі та $0,1$ у низькому режимі. Ви спостерігаєте різкі рухи впродовж $2$ днів поспіль. Яка імовірність, що режим високий? Дайте нескоротний дріб.

Руку з $5$ карт роздають з добре перетасованої стандартної колоди з $52$ карт, що містить $4$ тузи. Відомо, що рука містить щонайменше $1$ туз. Яка імовірність, що вона містить щонайменше $2$ тузи? Дайте нескоротний дріб.

В урні лежать $4$ зелені та $6$ білих кульок. Ви навмання виймаєте кульку, фіксуєте її колір і повертаєте назад, і так робите всього $3$ рази. Яка ймовірність, що рівно $1$ з вийнятих кульок зелена?

В урні A лежать $3$ червоні та $2$ чорні кульки. В урні B лежать $1$ червона та $4$ чорні кульки. Чесна монета обирає одну урну, а потім з неї навмання виймають кульку. Кулька виявилась червоною. Яка ймовірність, що вона з урни A? Дайте нескоротний дріб.

В урні лежать $10$ квитків з номерами від $1$ до $10$. Ви навмання виймаєте $3$ квитки без повернення. Яка ймовірність, що найбільший вийнятий номер дорівнює рівно $7$? Дайте нескоротний дріб.

В урні лежать $6$ червоних і $4$ сині кульки. Ви виймаєте кульки по одній навмання без повернення і зупиняєтесь, щойно з’явиться червона кулька. Яке математичне сподівання кількості витягувань, враховуючи останнє витягування червоної? Дайте нескоротний дріб.

В урні лежать $3$ червоні та $3$ сині кульки. Ви виймаєте всі $6$ кульок по одній навмання без повернення. Яка ймовірність, що після кожного витягування кількість вийнятих червоних кульок не менша за кількість вийнятих синіх? Дайте нескоротний дріб.

Мандрівник стартує з точки $0$ на цілочисельній прямій і робить $4$ кроки. Кожен крок дорівнює $+1$ або $-1$ з імовірністю $\frac{1}{2}$, незалежно від інших кроків. Яка ймовірність того, що мандрівник опиниться в точці $0$ після $4$ кроків?

Фішка стоїть у позиції $1$ серед позицій $0$, $1$, $2$, $3$. Кожен хід переносить її вгору на $1$ з імовірністю $\frac{2}{3}$ і вниз на $1$ з імовірністю $\frac{1}{3}$, незалежно від інших ходів. Позиції $0$ і $3$ поглинають фішку. Яка ймовірність того, що фішку буде поглинуто в позиції $3$?

Чесний мандрівник стартує з позиції $2$ серед позицій $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$. Кожен крок іде вгору на $1$ або вниз на $1$ з імовірністю $\frac{1}{2}$, незалежно від інших кроків. Позиції $0$ і $7$ поглинають мандрівника. Яке математичне сподівання кількості кроків до поглинання?